Begay syntyi Tuba Cityssä, Arizonassa, 11. tammikuuta 1954. Hän varttui Navajo-reservaatissa, jossa hän oppi perinteisestä navajo-kulttuurista vanhemmiltaan ja isovanhemmiltaan. Begay aloitti piirtämisen ja maalaamisen nuorena, ja pian hän tajusi, että hänellä oli kykyjä taiteeseen.
Valmistuttuaan lukiosta Begay opiskeli taidetta Institute of American Indian Artsissa Santa Fessä, New Mexicossa. Sitten hän osallistui Arizonan yliopistoon, jossa hän ansaitsi kuvataiteen kandidaatin tutkinnon.
Begayn maalaukset kuvaavat erilaisia aiheita, kuten navajo-seremonioita, rituaaleja ja jokapäiväistä elämää. Hänen työlleen ovat ominaisia sen eloisat värit, monimutkaiset kuviot ja vahva henkisyyden tunne. Begayn maalauksia on kehuttu kauneudesta, kulttuurisesta merkityksestään ja kyvystään vangita navajo-elämän olemus.
Begayn töitä on ollut esillä museoissa ja gallerioissa ympäri maailmaa, mukaan lukien Smithsonian Institution, Heard Museum ja Museum of Modern Art. Hän on myös saanut lukuisia palkintoja, mukaan lukien National Endowment for the Arts Fellowship, Arizona Governor's Arts Award ja Native American Art Awards.
Begayn työ innostaa ja kouluttaa katsojia Navajo-kulttuurista. Häntä pidetään yhtenä sukupolvensa tärkeimmistä intiaanitaiteilijoista.
Begay kuoli syöpään 17. elokuuta 2012 Tuba Cityssä, Arizonassa. Hän oli 58-vuotias.