Hän syntyi Richard Ernest Parkes Bartram Lontoossa, Englannissa. Hän opiskeli Hendon Schoolissa ja oli kiinnostunut näyttelemisestä pienestä pitäen. Palveltuaan kuninkaallisissa ilmavoimissa toisen maailmansodan aikana, hän harjoitteli Royal Academy of Dramatic Artissa (RADA).
Valmistuttuaan RADAsta Barton aloitti näyttelijänuransa ohjelmistoteatterissa esiintyen tuotannoissa Birmingham Repertory Theatressa ja Old Vicissä. Vuonna 1949 hän debytoi West Endissä "Richard II" -tuotannossa. Hän esiintyi monissa muissa West Endin tuotannossa, mukaan lukien "Hamlet", "Macbeth" ja "Othello".
Bartonilla oli myös menestyvä elokuvaura, ja hän esiintyi elokuvissa, kuten "The Dam Busters" (1955), "The Longest Day" (1962) ja "The Charge of the Light Brigade" (1968). Hän esiintyi myös useissa televisiotuotannoissa, mukaan lukien BBC:n "The Age of Kings" (1960) ja "The Forsyte Saga" (1967).
Näyttelijäuransa lisäksi Barton toimi myös ohjaajana ja tuottajana. Hän ohjasi monia tuotantoja Royal Shakespeare Companylle, mukaan lukien "Hamlet", "Macbeth" ja "King Lear". Hän ohjasi myös useita tuotantoja Kansallisteatterille, mukaan lukien "The Cherry Orchard" ja "The Seagull".
Barton oli naimisissa näyttelijä Anne Baxterin kanssa vuosina 1949–1951. Hän meni myöhemmin naimisiin näyttelijä Natasha Parryn kanssa vuonna 1960. Hänellä oli kolme lasta:poika Morgan ja kaksi tytärtä, Demelza ja Lucy.
Barton kuoli syöpään 5. huhtikuuta 2000 74-vuotiaana.