Angels valitsi Pochen vuoden 1986 draftin toisella kierroksella. Hän teki pääsarjadebyyttinsä Angelsissa vuonna 1989 ja vietti suurimman osan seuraavista kolmesta kaudesta joukkueessa. Vuonna 1992 hänet vaihdettiin Redsiin, jossa hän vietti seuraavat neljä kautta. Hän päätti pääliigauransa Padresissa vuonna 1996.
Kaiken kaikkiaan Poche julkaisi 53–52 ennätyksen 4,26 ERA:lla 157 ottelussa. Hän löi 535 lyöntiä 923 sisävuorossa.
Jätettyään eläkkeelle baseballista Pochesta tuli pitching-valmentaja. Hän on työskennellyt Angelsin, Redsin ja Seattle Marinersin alaliigajärjestelmissä. Hän toimii tällä hetkellä Louisville Batsin, Cincinnati Redsin Triple-A-tytäryrityksen, heittovalmentajana.